Anatomie d'un vecteur

Définition et caractéristiques

Un vecteur représente un glissement caractérisé par trois éléments :

• Direction : l'inclinaison de la droite.
• Sens : vers où pointe la flèche (de l'origine vers l'extrémité).
• Norme : la longueur du segment.

Coordonnées d'un vecteur

Notées $\vec{u}\binom{x}{y}$, elles mesurent le déplacement :

• $x$ : décalage horizontal (droite/gauche).
• $y$ : décalage vertical (haut/bas).

💡 Astuce : Le vecteur opposé à $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, ses coordonnées changent simplement de signe.

Calculs et égalités

Calculer avec les coordonnées

• Formule des points : $\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$
• Somme : $\vec{u}+\vec{v}\binom{x+x'}{y+y'}$

Exemple : Si $A(1; 1)$ et $B(-3; -1)$ : $\overrightarrow{AB}\binom{-3-1}{-1-1} = \overrightarrow{AB}\binom{-4}{-2}$

Égalité de vecteurs

• Parallélogramme : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme.

💡 Attention : Pour la formule des coordonnées d'un vecteur, fais toujours le calcul "extrémité moins origine" (B moins A).

Opérations et relation de Chasles

Multiplication par un réel $k$

Le vecteur $k\vec{u}$ change de longueur et de sens si $k$ est négatif :

• Même direction : toujours parallèle à $\vec{u}$.
• Sens opposé : si le nombre $k < 0$.

Relation de Chasles

Elle permet de simplifier l'enchaînement de deux vecteurs :

• Règle : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Exemple : $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{CE}$

💡 Astuce : Pour appliquer Chasles, la lettre de fin du premier vecteur doit être la lettre de début du second.

Norme d'un vecteur

Calculer la longueur

La norme de $\vec{u}\binom{x}{y}$, notée $||\vec{u}||$, correspond à sa longueur géométrique.

• Formule : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Exemple : Si $\vec{u}\binom{4}{2}$ : $||\vec{u}|| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

💡 Astuce : Comme la formule utilise des carrés, la norme est toujours un nombre positif.