Calculer le produit scalaire

Tu as plusieurs façons de calculer un produit scalaire, et chacune a ses avantages selon le contexte. La formule de base avec l'angle est $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}|| \times \cos(\widehat{BAC})$.

Quand tu travailles avec des coordonnées dans une base orthonormée, c'est beaucoup plus simple : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$. Tu multiplies les coordonnées correspondantes et tu additionnes !

Le projeté orthogonal est ton meilleur ami pour simplifier les calculs. Si H est le projeté de C sur la droite (AB), alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.

Astuce pratique : Pour des vecteurs colinéaires, le produit scalaire vaut $+||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$ s'ils ont le même sens, et $-||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$ s'ils sont de sens contraires.

La formule de la médiane te donne : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \frac{MI^2 - AB^2}{4}$ où I est le milieu de [AB]. Et n'oublie pas que $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$ !

Propriétés et applications

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. C'est le test ultime pour vérifier si deux droites sont perpendiculaires !

Le produit scalaire suit les mêmes règles que la multiplication classique. Tu peux distribuer : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$. Les identités remarquables marchent aussi : $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2$.

Pour passer d'une longueur à un vecteur, souviens-toi que $AB^2 = \vec{AB}^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$. Cette relation est super utile dans les calculs !

Info importante : Le théorème d'Al-Kashi utilise le produit scalaire pour calculer les côtés d'un triangle quelconque, même quand tu ne connais pas tous les angles.