Vecteurs et Équation Cartésienne

Produit scalaire et distance

Le produit scalaire est l'outil majeur pour tester l'orthogonalité dans l'espace.

• Formule analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$
• Norme d'un vecteur : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
• Orthogonalité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Équation de plan

Un plan $P$ est défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.

• Équation cartésienne : Elle est de la forme $ax + by + cz + d = 0$.

Exemple : Trouver $d$ pour $A(1;2;3)$ et $\vec{n}(4;5;6)$ : $4(1) + 5(2) + 6(3) + d = 0 \implies d = -32$.

💡 Astuce : Pour trouver un vecteur normal à partir de deux vecteurs de base, pose un système d'équations et fixe arbitrairement $z = 1$ pour simplifier les calculs.

Intersections et Projetés

Projeté orthogonal d'un point

Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ d'un point sur un plan ou une droite.

• Sur un plan : $H$ est l'intersection entre le plan et la droite orthogonale passant par le point.
• Sur une droite : On utilise le produit scalaire $\vec{BH} \cdot \vec{u} = 0$ où $\vec{u}$ est le directeur de la droite.

Intersection de plans

Deux plans non parallèles se coupent toujours selon une droite d'intersection.

• Méthode : Résoudre le système des deux équations cartésiennes en posant par exemple $z = t$ comme paramètre.

💡 Astuce : Vérifie toujours que les vecteurs normaux de tes deux plans ne sont pas colinéaires avant de chercher leur droite d'intersection.