Mathematik

Logarithmische und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

Mathe1,250 views·Updated Jul 1, 2026·12 pages

ZP10 2024 Mathe Training

Alisa Charcenko@lisaharcenko_qjuiljd

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Diese Zusammenfassung deckt wichtige Mathe-Themen ab, die du in der...

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Lineare Gleichungssysteme

Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - aber wie löst du sie? Es gibt drei bewährte Methoden, die dir das Leben leichter machen.

Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach der gleichen Variable um und setzt sie gleich. Das funktioniert super, wenn eine Variable schon alleine steht.

Das Einsetzungsverfahren ist perfekt, wenn du eine Gleichung einfach nach x oder y auflösen kannst. Du setzt diese dann in die andere Gleichung ein - schon hast du nur noch eine Variable.

Beim Additionsverfahren addierst oder subtrahierst du die Gleichungen geschickt, damit eine Variable wegfällt. Manchmal musst du vorher eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren.

Tipp: Kontrolliere dein Ergebnis immer, indem du die Werte in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt!

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Lineare Funktionen - Punkte auf Graphen

Liegt ein Punkt wirklich auf deinem Graphen? Mit der Punktprobe findest du es schnell heraus! Du setzt einfach die Koordinaten in deine Funktion ein.

Bei f $x$ = 4x und dem Punkt P₁ $-3/-12$ rechnest du: -12 = 4 · $-3$ = -12. Stimmt! Der Punkt liegt auf dem Graphen.

Fehlt dir eine Koordinate? Kein Problem! Setze die bekannte Koordinate ein und löse nach der unbekannten auf. Bei P₂ $-4/?$ und f $x$ = 4x + 1 rechnest du: f $-4$ = 4 · $-4$ + 1 = -15.

Ist das y gegeben und x gesucht, stellst du die Gleichung nach x um. Bei f $x$ = 4x - 2 und y = -4,8 löst du: -4,8 = 4x - 2 nach x auf.

Merke dir: Die Punktprobe funktioniert wie eine Waage - beide Seiten müssen gleich sein!

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Die Steigung einer Geraden zeigt dir, wie steil sie ist. Mit der Formel m = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$ berechnest du sie aus zwei beliebigen Punkten.

Nehmen wir P₁ $1/-1$ und P₂ $3/3$ : m = $3-(-1)$ / $3-1$ = 4/2 = 2. Die Gerade steigt also um 2 Einheiten, wenn sie 1 Einheit nach rechts geht.

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, wo deine Gerade die y-Achse schneidet. Bei f $x$ = 2x - 3 ist das der Wert -3, denn dort ist x = 0.

In der Funktionsgleichung f $x$ = mx + b ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. So erkennst du beide Werte sofort!

Eselsbrücke: Positive Steigung = Berg rauf, negative Steigung = Berg runter!

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Prozentrechnung

Prozentrechnung begegnet dir überall - beim Shopping, bei Zinsen, in den Nachrichten. Die Grundformel lautet: Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz.

Ein Schuh kostet 80€ und hat 25% Rabatt. Der Prozentwert ist: W = 80 · 0,25 = 20€. Du sparst also 20€ und zahlst nur noch 60€.

Mit dem Dreisatz gehts auch: 80€ entsprechen 100%, also entspricht 1€ genau 1,25%. Für 25% rechnest du: 25 · 0,8€ = 20€ Rabatt.

Du kannst auch direkt den Endpreis berechnen: 80€ · 0,75 = 60€. Denn 100% - 25% = 75%, und 75% = 0,75.

Trick: Prozent bedeutet "von Hundert" - 25% sind einfach 25/100 = 0,25!

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Baumdiagramme helfen dir, komplexe Wahrscheinlichkeiten zu verstehen. Jeder Ast zeigt eine mögliche Situation mit ihrer Wahrscheinlichkeit.

Bei zwei Kugeln ziehen (3 weiße, 4 gelbe von 7 insgesamt) malst du alle Möglichkeiten auf. Für den ersten Zug hast du 3/7 für weiß und 4/7 für gelb.

Die Wahrscheinlichkeit für zwei gelbe Kugeln berechnest du: 4/7 · 4/7 = 16/49 ≈ 0,33 = 33%.

Das Multiplikationsprinzip ist dein Freund: Wahrscheinlichkeiten von aufeinanderfolgenden Ereignissen multiplizierst du einfach.

Wichtig: Alle Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses zusammen ergeben immer 1 (oder 100%)!

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Exponentialfunktionen - Abnahme

Exponentialfunktionen beschreiben Prozesse, die sich beschleunigen oder verlangsamen. Die Grundformel lautet: y = a · bˣ.

Bei exponentieller Abnahme ist der Faktor b zwischen 0 und 1. Ein Medikament mit 8mg Startwert und täglichem Abbau von 1/4 folgt der Formel: f $x$ = 8 · $3/4$ ˣ.

Nach einem Tag sind noch 8 · 3/4 = 6mg da, nach zwei Tagen 8 · $3/4$ ² = 4,5mg. Der Abbau wird immer langsamer, weil weniger Substanz da ist.

Das ist proportionaler Zerfall: Je mehr vorhanden ist, desto mehr zerfällt absolut gesehen. Relativ bleibt der Anteil gleich (hier 25% täglich).

Realitäts-Check: Exponentieller Zerfall kommt bei Medikamenten, radioaktiven Stoffen und Bakterien vor!

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Prozentuale Abnahme

Prozentuale Abnahme funktioniert nach der Formel: f $x$ = y · $1 - p/100$ ˣ. Hier wird immer derselbe Prozentsatz vom aktuellen Wert abgezogen.

40mg Farbstoff mit 20% stündlichem Abbau: f $x$ = 40 · $1 - 20/100$ ˣ = 40 · (0,8)ˣ. Nach einer Stunde bleiben 40 · 0,8 = 32mg.

Der Trick: Du ziehst nicht 20% vom Ursprungswert ab, sondern behältst 80% des aktuellen Werts. Nach zwei Stunden: 32 · 0,8 = 25,6mg.

Diese Art der Abnahme findest du bei Wertverlust von Autos, Bevölkerungsrückgang oder Temperaturabfall.

Achtung: Der absolute Betrag der Abnahme wird immer kleiner, der prozentuale Anteil bleibt gleich!

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Prozentuales Wachstum

Beim prozentualen Wachstum verwendest du: f $x$ = a · $1 + p/100$ ˣ. Hier kommt zu 100% noch der Wachstumsanteil dazu.

1000€ mit 5% jährlichen Zinsen: f $x$ = 1000 · $1 + 5/100$ ˣ = 1000 · (1,05)ˣ. Nach fünf Jahren hast du 1000 · (1,05)⁵ = 1276,28€.

Das ist Zinseszins-Effekt: Die Zinsen werden mitverzinst! Jahr 1: 1050€, Jahr 2: 1102,50€ - die Zunahme wird immer größer.

Exponentielles Wachstum findest du bei Geldanlagen, Bakterienvermehrung oder Virusausbreitung.

Geld-Tipp: Schon 1% mehr Zinsen macht über Jahre einen riesigen Unterschied!

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Formelsammlung und Potenzen

Hier sind die wichtigsten Exponentialfunktions-Formeln auf einen Blick: Prozentuale Abnahme f $x$ = y· $1-p/100$ ˣ und Zunahme f $x$ = y· $1+p/100$ ˣ.

Bei Potenzen addierst und subtrahierst du nur gleiche Terme: 7x + 5x = 12x, aber 2x² + 3x³ bleiben getrennt.

Sortiere deine Terme nach Alphabet und Exponenten: -3x² + 12x + 2z wird zu 12x + 2z - 3x². Das macht deine Lösungen übersichtlicher.

Eine Potenz besteht aus Basis (unten) und Exponent (oben). Bei 2³ ist 2 die Basis und 3 der Exponent.

Ordnungs-Trick: Höchste Exponenten zuerst, dann alphabetisch - so machst du nie einen Fehler!

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Logarithmus

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz. log₃(81) = 4 bedeutet: "3 hoch was ergibt 81?" Die Antwort ist 4, denn 3⁴ = 81.

Bei log₂ $1/8$ fragst du: "2 hoch was ergibt 1/8?" Da 2³ = 8 ist, muss 2⁻³ = 1/8 sein. Also ist die Lösung -3.

log₃(3⁷) ist einfach: Die Basis und die Basis in der Klammer sind gleich, also ist das Ergebnis direkt der Exponent 7.

Logarithmen helfen dir, unbekannte Exponenten zu finden. Sie sind besonders wichtig bei exponentiellen Gleichungen.

Denk-Hilfe: Logarithmus fragt immer "Welcher Exponent?" - dann wird alles klar!

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Lineare Gleichungssysteme

Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - aber wie löst du sie? Es gibt drei bewährte Methoden, die dir das Leben leichter machen.

Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du beide Gleichungen nach der gleichen Variable um und setzt sie gleich. Das funktioniert super, wenn eine Variable schon alleine steht.

Das Einsetzungsverfahren ist perfekt, wenn du eine Gleichung einfach nach x oder y auflösen kannst. Du setzt diese dann in die andere Gleichung ein - schon hast du nur noch eine Variable.

Beim Additionsverfahren addierst oder subtrahierst du die Gleichungen geschickt, damit eine Variable wegfällt. Manchmal musst du vorher eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren.

Tipp: Kontrolliere dein Ergebnis immer, indem du die Werte in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzt!

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Lineare Funktionen - Punkte auf Graphen

Liegt ein Punkt wirklich auf deinem Graphen? Mit der Punktprobe findest du es schnell heraus! Du setzt einfach die Koordinaten in deine Funktion ein.

Bei f $x$ = 4x und dem Punkt P₁ $-3/-12$ rechnest du: -12 = 4 · $-3$ = -12. Stimmt! Der Punkt liegt auf dem Graphen.

Fehlt dir eine Koordinate? Kein Problem! Setze die bekannte Koordinate ein und löse nach der unbekannten auf. Bei P₂ $-4/?$ und f $x$ = 4x + 1 rechnest du: f $-4$ = 4 · $-4$ + 1 = -15.

Ist das y gegeben und x gesucht, stellst du die Gleichung nach x um. Bei f $x$ = 4x - 2 und y = -4,8 löst du: -4,8 = 4x - 2 nach x auf.

Merke dir: Die Punktprobe funktioniert wie eine Waage - beide Seiten müssen gleich sein!

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Die Steigung einer Geraden zeigt dir, wie steil sie ist. Mit der Formel m = $y₂ - y₁$ / $x₂ - x₁$ berechnest du sie aus zwei beliebigen Punkten.

Nehmen wir P₁ $1/-1$ und P₂ $3/3$ : m = $3-(-1)$ / $3-1$ = 4/2 = 2. Die Gerade steigt also um 2 Einheiten, wenn sie 1 Einheit nach rechts geht.

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, wo deine Gerade die y-Achse schneidet. Bei f $x$ = 2x - 3 ist das der Wert -3, denn dort ist x = 0.

In der Funktionsgleichung f $x$ = mx + b ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. So erkennst du beide Werte sofort!

Eselsbrücke: Positive Steigung = Berg rauf, negative Steigung = Berg runter!

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Prozentrechnung

Prozentrechnung begegnet dir überall - beim Shopping, bei Zinsen, in den Nachrichten. Die Grundformel lautet: Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz.

Ein Schuh kostet 80€ und hat 25% Rabatt. Der Prozentwert ist: W = 80 · 0,25 = 20€. Du sparst also 20€ und zahlst nur noch 60€.

Mit dem Dreisatz gehts auch: 80€ entsprechen 100%, also entspricht 1€ genau 1,25%. Für 25% rechnest du: 25 · 0,8€ = 20€ Rabatt.

Du kannst auch direkt den Endpreis berechnen: 80€ · 0,75 = 60€. Denn 100% - 25% = 75%, und 75% = 0,75.

Trick: Prozent bedeutet "von Hundert" - 25% sind einfach 25/100 = 0,25!

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Baumdiagramme helfen dir, komplexe Wahrscheinlichkeiten zu verstehen. Jeder Ast zeigt eine mögliche Situation mit ihrer Wahrscheinlichkeit.

Bei zwei Kugeln ziehen (3 weiße, 4 gelbe von 7 insgesamt) malst du alle Möglichkeiten auf. Für den ersten Zug hast du 3/7 für weiß und 4/7 für gelb.

Die Wahrscheinlichkeit für zwei gelbe Kugeln berechnest du: 4/7 · 4/7 = 16/49 ≈ 0,33 = 33%.

Das Multiplikationsprinzip ist dein Freund: Wahrscheinlichkeiten von aufeinanderfolgenden Ereignissen multiplizierst du einfach.

Wichtig: Alle Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses zusammen ergeben immer 1 (oder 100%)!

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Exponentialfunktionen - Abnahme

Exponentialfunktionen beschreiben Prozesse, die sich beschleunigen oder verlangsamen. Die Grundformel lautet: y = a · bˣ.

Bei exponentieller Abnahme ist der Faktor b zwischen 0 und 1. Ein Medikament mit 8mg Startwert und täglichem Abbau von 1/4 folgt der Formel: f $x$ = 8 · $3/4$ ˣ.

Nach einem Tag sind noch 8 · 3/4 = 6mg da, nach zwei Tagen 8 · $3/4$ ² = 4,5mg. Der Abbau wird immer langsamer, weil weniger Substanz da ist.

Das ist proportionaler Zerfall: Je mehr vorhanden ist, desto mehr zerfällt absolut gesehen. Relativ bleibt der Anteil gleich (hier 25% täglich).

Realitäts-Check: Exponentieller Zerfall kommt bei Medikamenten, radioaktiven Stoffen und Bakterien vor!

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Prozentuale Abnahme

Prozentuale Abnahme funktioniert nach der Formel: f $x$ = y · $1 - p/100$ ˣ. Hier wird immer derselbe Prozentsatz vom aktuellen Wert abgezogen.

40mg Farbstoff mit 20% stündlichem Abbau: f $x$ = 40 · $1 - 20/100$ ˣ = 40 · (0,8)ˣ. Nach einer Stunde bleiben 40 · 0,8 = 32mg.

Der Trick: Du ziehst nicht 20% vom Ursprungswert ab, sondern behältst 80% des aktuellen Werts. Nach zwei Stunden: 32 · 0,8 = 25,6mg.

Diese Art der Abnahme findest du bei Wertverlust von Autos, Bevölkerungsrückgang oder Temperaturabfall.

Achtung: Der absolute Betrag der Abnahme wird immer kleiner, der prozentuale Anteil bleibt gleich!

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Prozentuales Wachstum

Beim prozentualen Wachstum verwendest du: f $x$ = a · $1 + p/100$ ˣ. Hier kommt zu 100% noch der Wachstumsanteil dazu.

1000€ mit 5% jährlichen Zinsen: f $x$ = 1000 · $1 + 5/100$ ˣ = 1000 · (1,05)ˣ. Nach fünf Jahren hast du 1000 · (1,05)⁵ = 1276,28€.

Das ist Zinseszins-Effekt: Die Zinsen werden mitverzinst! Jahr 1: 1050€, Jahr 2: 1102,50€ - die Zunahme wird immer größer.

Exponentielles Wachstum findest du bei Geldanlagen, Bakterienvermehrung oder Virusausbreitung.

Geld-Tipp: Schon 1% mehr Zinsen macht über Jahre einen riesigen Unterschied!

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Formelsammlung und Potenzen

Hier sind die wichtigsten Exponentialfunktions-Formeln auf einen Blick: Prozentuale Abnahme f $x$ = y· $1-p/100$ ˣ und Zunahme f $x$ = y· $1+p/100$ ˣ.

Bei Potenzen addierst und subtrahierst du nur gleiche Terme: 7x + 5x = 12x, aber 2x² + 3x³ bleiben getrennt.

Sortiere deine Terme nach Alphabet und Exponenten: -3x² + 12x + 2z wird zu 12x + 2z - 3x². Das macht deine Lösungen übersichtlicher.

Eine Potenz besteht aus Basis (unten) und Exponent (oben). Bei 2³ ist 2 die Basis und 3 der Exponent.

Ordnungs-Trick: Höchste Exponenten zuerst, dann alphabetisch - so machst du nie einen Fehler!

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Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz. log₃(81) = 4 bedeutet: "3 hoch was ergibt 81?" Die Antwort ist 4, denn 3⁴ = 81.

Bei log₂ $1/8$ fragst du: "2 hoch was ergibt 1/8?" Da 2³ = 8 ist, muss 2⁻³ = 1/8 sein. Also ist die Lösung -3.

log₃(3⁷) ist einfach: Die Basis und die Basis in der Klammer sind gleich, also ist das Ergebnis direkt der Exponent 7.

Logarithmen helfen dir, unbekannte Exponenten zu finden. Sie sind besonders wichtig bei exponentiellen Gleichungen.

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