Algebraische Grundlagen

Potenzgesetze

Schnelles Vereinfachen von Termen vor dem Ableiten spart Rechenzeit.

• Produktregel: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Brüche: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ und $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$
• Potenzieren: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Lösungsverfahren

Tricks für Gleichungen höheren Grades, die man nicht direkt auflösen kann.

• Substitution: Ersetze $x^2$ durch $z$, um die p-q-Formel zu nutzen.
• Polynomdivision: Reduziert den Grad einer Funktion nach Erraten der ersten Nullstelle.

Beispiel: Substitution bei $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$:

1. $z^2 - 3z + 2 = 0 \Rightarrow z_1 = 2; z_2 = 1$
2. Resubstitution $x^2 = z \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}; x = \pm 1$

💡 Tipp: Nutze die Substitution immer dann, wenn in der Gleichung nur die Exponenten $x^4$ und $x^2$ (sowie ein absolutes Glied) vorkommen.

Funktionstypen

Lineare & Quadratische Funktionen

Diese Funktionen bilden das Fundament aller ganzrationalen Funktionen.

• Lineare Funktionen: Haben die Form $f(x) = mx + b$ mit der Steigung $m$.
• Normalform: $f(x) = ax^2 + bx + c$ zeigt direkt den y-Achsenabschnitt $c$.
• Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2 + e$ liefert sofort den Scheitelpunkt $(d|e)$.

Ganzrationale Funktionen (Polynome)

Funktionen höheren Grades, deren Verhalten durch den höchsten Exponenten bestimmt wird.

• Grad: Der höchste Exponent bestimmt das globale Verhalten des Graphen.
• Streckung & Stauchung: Der Faktor $a$ vor dem höchsten Exponenten streckt ($a > 1$) oder staucht ($-1 < a < 1$) den Graphen.

💡 Tipp: Achte beim Ablesen des Scheitelpunkts $(d|e)$ aus der Scheitelpunktform immer auf das umgedrehte Vorzeichen in der Klammer bei $d$.

Kurvendiskussion I

Symmetrie und Verhalten am Rand

Eigenschaften, die den globalen Verlauf des Graphen schnell verraten.

• Achsensymmetrie: Liegt vor, wenn die Funktion nur gerade Exponenten besitzt.
• Punktsymmetrie: Liegt vor, wenn die Funktion nur ungerade Exponenten besitzt.
• Verhalten im Unendlichen: Bestimmt durch den Term mit der höchsten Potenz.

Nullstellen und Achsenabschnitt

Die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.

• Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechnet durch Einsetzen von $x = 0$, also $f(0)$.
• Nullstellen: Berechnet durch Nullsetzen der Funktion $f(x) = 0$.

Beispiel: Nullstellen von $f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 3x$:

1. $x \cdot (\frac{4}{3}x^2 - 3) = 0$
2. $x_1 = 0$ und $\frac{4}{3}x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 1,5$

💡 Tipp: Beim Berechnen von Nullstellen immer zuerst prüfen, ob du ein $x$ ausklammern kannst, um den Grad der Funktion direkt zu senken.

Kurvendiskussion II

Extrempunkte

Punkte, an denen der Graph lokal am höchsten oder tiefsten ist.

• Notwendige Bedingung: Die erste Ableitung muss Null sein: $f'(x) = 0$.
• Hinreichende Bedingung: Setze die Fundstellen in $f''(x)$ ein: $f''(x) > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt; $f''(x) < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt.

Wendepunkte

Die Stellen, an denen der Graph sein Krümmungsverhalten ändert.

• Notwendige Bedingung: Die zweite Ableitung muss Null sein: $f''(x) = 0$.
• Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung darf nicht Null sein: $f'''(x) \neq 0$.

Beispiel: Wendepunkt von $f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 3x$ mit $f''(x) = 8x$:

1. $f''(x) = 8x = 0 \Rightarrow x = 0$
2. In $f(x)$ einsetzen: $f(0) = 0 \Rightarrow WP(0|0)$

💡 Tipp: Vergiss im letzten Schritt der Extrempunktberechnung niemals, die x-Werte wieder in die Ausgangsfunktion $f(x)$ einzusetzen, um die y-Koordinaten zu erhalten.

Wirtschaftliche Anwendungen

Kosten- und Gewinnfunktionen

Mathematische Analyse von betriebswirtschaftlichen Prozessen.

• Gesamtkosten: Zusammensetzung aus Fixkosten und variablen Kosten: $K(x) = K_{\text{fix}} + K_v(x)$.
• Gewinnfunktion: Differenz aus Erlös und Gesamtkosten: $G(x) = E(x) - K(x)$.
• Stückkosten: Gesamte Kosten geteilt durch die Produktionsmenge: $k(x) = \frac{K(x)}{x}$.

Isokostenfunktion

Gibt alle Kombinationen von Produktionsfaktoren an, die dieselben Gesamtkosten verursachen.

• Formel: $y(x) = -\frac{p_x}{p_y}x + \frac{K}{p_y}$ mit Faktorpreisen $p_x, p_y$ und Budget $K$.

💡 Tipp: Die Gewinnschwelle ist die erste positive Nullstelle der Gewinnfunktion $G(x)$, ab der das Unternehmen Gewinn macht.

Ableitungsregeln & Krümmung

Grundlegende Ableitungsregeln

Werkzeuge zur Bestimmung der Steigung einer Funktion.

• Potenzregel: Aus $f(x) = x^r$ wird $f'(x) = r \cdot x^{r-1}$.
• Produktregel: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$.
• Kettenregel: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ für verschachtelte Funktionen.

Monotonie und Krümmung

Die geometrische Form des Graphen analysieren.

• Monotonie: $f'(x) > 0$ bedeutet streng monoton steigend.
• Linksgekrümmt: Liegt vor, wenn die zweite Ableitung positiv ist ($f''(x) > 0$).
• Rechtsgekrümmt: Liegt vor, wenn die zweite Ableitung negativ ist ($f''(x) < 0$).

Beispiel: Ableitung von $f(x) = (2x-4)^3$:

1. Äußere Ableitung: $3(2x-4)^2$
2. Innere Ableitung: $2 \Rightarrow f'(x) = 6(2x-4)^2$

💡 Tipp: Merke dir die Eselsbrücke: Ist die zweite Ableitung positiv ($f''(x) > 0$), lacht der Graph (wie ein Smiley, linksgekrümmt).

Integralrechnung

Das Bestimmte Integral

Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse.

• Hauptsatz: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
• Stammfunktion: Aufleiten durch Erhöhen des Exponenten: $F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$.

Aufleiten mit Kettenregel

Für lineare Verkettungen gilt eine spezielle Aufleitungsregel.

• Formel: $F(x) = \frac{1}{\text{innere Ableitung}} \cdot \text{äußere Stammfunktion}$.

Beispiel: Berechne $\int_{0}^{2} 3x^2 \, dx$:

1. Stammfunktion bestimmen: $F(x) = x^3$
2. Grenzen einsetzen: $F(2) - F(0) = 2^3 - 0^3 = 8$

💡 Tipp: Liegt eine Fläche unterhalb der x-Achse, liefert das Integral einen negativen Wert. Für echte Flächeninhalte musst du in Betragsstrichen rechnen.